10. نظريتا ديمورغان وأمثلة على التبسيط

ربما تكون نظريات ديمورغان هي أهم الأدوات لتحويل التعبيرات البولية، خاصة عند التحويل بين التطبيقات القائمة على OR والتطبيقات القائمة على AND.

نظرية ديمورغان الأولى (تحويل NOR)

متمم المجموع المنطقي يساوي الجداء المنطقي للمتممات.

$$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$$ (بوابة NOR تعادل بوابة AND بمدخلات معكوسة.)

نظرية ديمورغان الثانية (تحويل NAND)

متمم الجداء المنطقي يساوي المجموع المنطقي للمتممات.

$$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$$ (بوابة NAND تعادل بوابة OR بمدخلات معكوسة.)

مثال على التبسيط

بسّط التعبير $Y = A\overline{B}C + A\overline{B}\overline{C} + A B C$.

1. أخرج العوامل المشتركة في الحدين الأولين: $$Y = A\overline{B}(C + \overline{C}) + A B C$$
2. طبّق قانون المتمم ($C + \overline{C} = 1$): $$Y = A\overline{B}(1) + A B C = A\overline{B} + A B C$$
3. أخرج العامل A: $$Y = A(\overline{B} + B C)$$
4. طبّق صيغة قانون التوزيع (أو صيغة نظرية الإجماع Consensus Theorem: $\overline{B} + B C = \overline{B} + C$): $$Y = A(\overline{B} + C)$$

الدارة المبسطة أصغر بكثير: فبدلًا من 3 بوابات AND وبوابة OR واحدة (بالإضافة إلى عاكس)، نحتاج إلى بوابتي AND وبوابة OR واحدة.