9. Identités booléennes et théorèmes de base
Tout comme l'algèbre standard, l'algèbre booléenne a des lois fondamentales qui nous permettent de simplifier des expressions complexes, ce qui se traduit directement par la réduction du nombre de portes requises dans un circuit.
Lois de Commutativité
$$A + B = B + A$$ $$A \cdot B = B \cdot A$$
Lois d'Associativité
$$(A + B) + C = A + (B + C)$$ $$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$$
Loi de Distributivité
$$A \cdot (B + C) = (A \cdot B) + (A \cdot C)$$ $$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$$
Règles d'Identité de Base
| Règles OU | Règles ET | Règles de Complément |
|---|---|---|
| $A + 0 = A$ | $A \cdot 1 = A$ | $\overline{\overline{A}} = A$ |
| $A + 1 = 1$ | $A \cdot 0 = 0$ | $A + \overline{A} = 1$ |
| $A + A = A$ | $A \cdot A = A$ | $A \cdot \overline{A} = 0$ |
Loi d'Absorption
Ce sont de puissants outils de simplification :
- $$A + (A \cdot B) = A$$
- $$A \cdot (A + B) = A$$
Connaître ces théorèmes par cœur accélère considérablement la simplification des circuits.