10. Théorèmes de De Morgan et exemples de simplification

Les théorèmes de De Morgan sont peut-être les outils les plus importants pour transformer les expressions booléennes, en particulier lors de la conversion entre les implémentations basées sur OU et celles basées sur ET.

Premier Théorème de De Morgan (transformation NOR)

Le complément d'une somme logique est égal au produit logique des compléments.

$$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$$ (Une porte NOR est équivalente à des entrées inversées connectées à une porte AND.)

Deuxième Théorème de De Morgan (transformation NAND)

Le complément d'un produit logique est égal à la somme logique des compléments.

$$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$$ (Une porte NAND est équivalente à des entrées inversées connectées à une porte OR.)

Exemple de Simplification

Simplifier l'expression $Y = A\overline{B}C + A\overline{B}\overline{C} + A B C$.

1. Factoriser les termes communs dans les deux premiers termes : $$Y = A\overline{B}(C + \overline{C}) + A B C$$
2. Appliquer la Loi du Complément ($C + \overline{C} = 1$) : $$Y = A\overline{B}(1) + A B C = A\overline{B} + A B C$$
3. Factoriser A : $$Y = A(\overline{B} + B C)$$
4. Appliquer la variante de la Loi de Distributivité (ou variante du Théorème de consensus : $\overline{B} + B C = \overline{B} + C$) : $$Y = A(\overline{B} + C)$$

Le circuit simplifié est beaucoup plus petit : au lieu de 3 portes AND et 1 porte OR (plus un inverseur), nous avons besoin de 2 portes AND et 1 porte OR.